Biểu diễn \( \log _{20} 12 \) theo \( a \) và \( b \)

Trong bài toán này, chúng ta được cho \( a = \log_2 3 \) và \( b = \log_3 5 \). Yêu cầu của chúng ta là biểu diễn \( \log_{20} 12 \) theo \( a \) và \( b \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc chuyển đổi cơ số của logarit. Quy tắc này cho phép chúng ta biểu diễn một logarit theo một cơ số khác. Đầu tiên, chúng ta cần biểu diễn \( \log_{20} 12 \) theo cơ số 2 và 3. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc chuyển đổi cơ số: \( \log_{a^m} b = \frac{\log_a b}{\log_a a^m} = \frac{\log_a b}{m} \) Áp dụng quy tắc này, chúng ta có: \( \log_{20} 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 20} \) Tiếp theo, chúng ta cần biểu diễn \( \log_2 12 \) và \( \log_2 20 \) theo \( a \) và \( b \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc chuyển đổi cơ số một lần nữa: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) Áp dụng quy tắc này, chúng ta có: \( \log_2 12 = \frac{\log_3 12}{\log_3 2} \) \( \log_2 20 = \frac{\log_3 20}{\log_3 2} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ thay thế \( \log_2 12 \) và \( \log_2 20 \) bằng các biểu thức tương ứng của \( a \) và \( b \): \( \log_2 12 = \frac{\log_3 12}{\log_3 2} = \frac{\log_3 3 \cdot 4}{\log_3 2} = \frac{2 \log_3 2 + \log_3 4}{\log_3 2} = \frac{2 \cdot b + \log_3 4}{b} \) \( \log_2 20 = \frac{\log_3 20}{\log_3 2} = \frac{\log_3 4 \cdot 5}{\log_3 2} = \frac{2 \log_3 2 + \log_3 5}{\log_3 2} = \frac{2 \cdot b + \log_3 5}{b} \) Cuối cùng, chúng ta sẽ thay thế \( \log_2 12 \) và \( \log_2 20 \) trong \( \log_{20} 12 \) bằng các biểu thức tương ứng của \( a \) và \( b \): \( \log_{20} 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 20} = \frac{\frac{2 \cdot b + \log_3 4}{b}}{\frac{2 \cdot b + \log_3 5}{b}} = \frac{2 \cdot b + \log_3 4}{2 \cdot b + \log_3 5} \) Vậy, \( \log_{20} 12 \) có thể được biểu diễn theo \( a \) và \( b \) bằng công thức: \( \log_{20} 12 = \frac{2 \cdot b + \log_3 4}{2 \cdot b + \log_3 5} \) Với \( a = \log_2 3 \) và \( b = \log_3 5 \), ta có thể tính giá trị của \( \log_{20} 12 \) theo công thức trên.