Tìm giá trị của α để tích phân hội tụ

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm giá trị của α để tích phân \( I=\int_{1}^{\infty} \frac{4 x-3}{(x+3)^{\alpha}\left(2 x^{2}+3 x\right)} \) hội tụ. Để bắt đầu, chúng ta cần xác định điều kiện để tích phân hội tụ. Điều này có nghĩa là giá trị của tích phân phải hữu hạn. Để tích phân hữu hạn, chúng ta cần xác định giá trị của α sao cho tử số và mẫu số của hàm số không gây ra vấn đề. Đầu tiên, chúng ta xem xét tử số của hàm số. Tử số là \(4x-3\). Để đảm bảo tích phân hội tụ, tử số phải hội tụ khi x tiến đến vô cùng. Điều này có nghĩa là hệ số của x trong tử số phải nhỏ hơn hoặc bằng hệ số của x trong mẫu số. Trong trường hợp này, hệ số của x trong tử số là 4 và hệ số của x trong mẫu số là 2. Vì vậy, chúng ta có điều kiện \(4 \leq 2\). Tiếp theo, chúng ta xem xét mẫu số của hàm số. Mẫu số là \((x+3)^{\alpha}(2x^{2}+3x)\). Để đảm bảo tích phân hội tụ, chúng ta cần xem xét hai trường hợp: khi x tiến đến 1 và khi x tiến đến vô cùng. Khi x tiến đến 1, chúng ta cần xác định giá trị của α sao cho mẫu số không bằng 0. Điều này có nghĩa là \((1+3)^{\alpha}(2(1)^{2}+3(1))

eq 0\). Từ đó, chúng ta có điều kiện \((4)^{\alpha}(5)

eq 0\). Khi x tiến đến vô cùng, chúng ta cần xác định giá trị của α sao cho mẫu số không gây ra vấn đề. Điều này có nghĩa là \((\infty+3)^{\alpha}(2(\infty)^{2}+3(\infty))\) không gây ra vấn đề. Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét trường hợp khi α là một số âm. Trong trường hợp này, mẫu số sẽ không hội tụ khi x tiến đến vô cùng. Vì vậy, chúng ta có điều kiện α > 0. Tổng kết lại, chúng ta cần tìm giá trị của α sao cho \(4 \leq 2\), \((4)^{\alpha}(5)

eq 0\) và α > 0. Từ các điều kiện này, chúng ta có thể suy ra giá trị của α để tích phân \( I=\int_{1}^{\infty} \frac{4 x-3}{(x+3)^{\alpha}\left(2 x^{2}+3 x\right)} \) hội tụ. Với quy trình trên, chúng ta đã tìm được giá trị của α để tích phân hội tụ.