Tính số điểm cực trị của hàm số bậc ba ##

Hàm số bậc ba có dạng \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) có đồ thị phức tạp và đa dạng. Để xác định số điểm cực trị của hàm số này, chúng ta cần phân tích các điểm mà đạo hàm bậc nhất của hàm số bằng 0. Đạo hàm bậc nhất của hàm số bậc ba là: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình: \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] Phương trình bậc hai này có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm thực, tương ứng với 0, 1 hoặc 2 điểm cực trị của hàm số. ### Phân tích các trường hợp: 1. <strong style="font-weight: bold;">0 nghiệm thực</strong>: Khi phương trình bậc hai không có nghiệm thực, tức là: \[ \Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c) < 0 \] Trong trường hợp này, hàm số không có điểm cực trị. 2. <strong style="font-weight: bold;">1 nghiệm thực</strong>: Khi phương trình bậc hai có nghiệm kép, tức là: \[ \Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 0 \] Nghiệm kép của phương trình bậc hai là: \[ x = -\frac{2b}{6a} = -\frac{b}{3a} \] Trong trường hợp này, hàm số có 1 điểm cực trị. 3. <strong style="font-weight: bold;">2 nghiệm thực khác nhau</strong>: Khi phương trình bậc hai có hai nghiệm thực khác nhau, tức là: \[ \Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c) > 0 \] Nghiệm thực của phương trình bậc hai là: \[ x_1, x_2 = \frac{-2b \pm \sqrt{\Delta}}{6a} \] Trong trường hợp này, hàm số có 2 điểm cực trị. ### Kết luận: Dựa trên phân tích trên, ta có thể kết luận rằng hàm số bậc ba có thể có 0, 1 hoặc 2 điểm cực trị. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đưa ra, chỉ có 2 điểm cực trị là phù hợp với trường hợp khi phương trình bậc hai có hai nghiệm thực khác nhau. Do đó, đáp án đúng cho câu hỏi này là: <strong style="font-weight: bold;">D. 2</strong> ### Tranh luận: Trong thực tế, việc xác định số điểm cực trị của hàm số bậc ba không chỉ đòi hỏi kiến thức về đạo hàm và giải phương trình bậc hai mà còn liên quan đến việc phân tích đồ thị và các đặc điểm của hàm số. Việc hiểu rõ về các trường hợp khác nhau của phương trình bậc hai giúp ta có cái nhìn tổng quan và chính xác hơn về cấu trúc của đồ thị hàm số bậc ba. Nhìn chung, việc giải quyết bài toán này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm và phương trình bậc hai mà còn rèn luyện kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề trong toán học.