Tính thể tích khối chóp \( S \cdot B C D \) trong hình chóp \( S \cdot A B C D \) với góc giữa hai mặt phẳng \( (A C M) \) và \( (S A D) \) là \( 60^{\circ} \)

Trong bài toán này, chúng ta được cho hình chóp \( S \cdot A B C D \) với đáy là hình chữ nhật \( A B C D \). Điểm \( M \) là trung điểm của cạnh \( S D \). Góc giữa hai mặt phẳng \( (A C M) \) và \( (S A D) \) được cho là \( 60^{\circ} \). Chúng ta cần tính thể tích của khối chóp \( S \cdot B C D \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học và tính thể tích của khối chóp. Đầu tiên, chúng ta cần tìm độ dài cạnh đáy \( B C \) của khối chóp \( S \cdot B C D \). Vì \( A B C D \) là hình chữ nhật, nên \( B C = A B = a \). Tiếp theo, chúng ta cần tìm độ dài cạnh bên \( S B \) của khối chóp \( S \cdot B C D \). Theo đề bài, \( S B = a \). Tiếp theo, chúng ta cần tính diện tích đáy \( B C D \) của khối chóp \( S \cdot B C D \). Vì \( B C = a \) và \( B D = C D = S D \), nên diện tích đáy \( B C D \) là \( a \times S D \). Cuối cùng, chúng ta có thể tính thể tích của khối chóp \( S \cdot B C D \) bằng cách nhân diện tích đáy \( B C D \) với chiều cao \( S B \). Vì \( S B = a \), nên thể tích của khối chóp \( S \cdot B C D \) là \( a \times (a \times S D) \). Tuy nhiên, để tính được thể tích chính xác, chúng ta cần tìm giá trị của \( S D \). Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng thông tin về góc giữa hai mặt phẳng \( (A C M) \) và \( (S A D) \). Với góc \( 60^{\circ} \), chúng ta có thể sử dụng các công thức trigonometri để tính toán giá trị của \( S D \). Tuy nhiên, vì không có đủ thông tin trong đề bài để tính toán chính xác, nên chúng ta không thể xác định được giá trị của \( S D \) và do đó không thể tính được thể tích của khối chóp \( S \cdot B C D \). Vì vậy, đáp án là không xác định. Trên đây là quá trình giải quyết bài toán tính thể tích khối chóp \( S \cdot B C D \) trong hình chóp \( S \cdot A B C D \) với góc giữa hai mặt phẳng \( (A C M) \) và \( (S A D) \) là \( 60^{\circ} \).