Chứng minh hai tam giác đồng dạng và tính độ dài đoạn thẳng BC

Trong bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai tam giác ABC và HCA đồng dạng và tính độ dài đoạn thẳng BC dựa trên các điều kiện đã cho. Đầu tiên, chúng ta đã biết rằng \(AH \perp BC\) và tia \(AD\) cắt \(BC\) tại điểm \(H\). Chúng ta cần chứng minh rằng \(AH^2 = HB\). Để chứng minh điều này, ta sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông \(ABH\). Theo định lí Pythagoras, ta có: \[AB^2 = AH^2 + HB^2\] Tuy nhiên, chúng ta cũng biết rằng \(AB = AC + CB\). Thay vào đó, ta có: \[(AC + CB)^2 = AH^2 + HB^2\] Mở ngoặc và rút gọn, ta có: \[AC^2 + 2AC \cdot CB + CB^2 = AH^2 + HB^2\] Vì \(AC = 8 \mathrm{~cm}\) và \(CB = 6 \mathrm{~cm}\), ta có: \[64 + 2 \cdot 8 \cdot 6 + 36 = AH^2 + HB^2\] \[100 = AH^2 + HB^2\] Do đó, ta đã chứng minh được rằng \(AH^2 = HB\). Tiếp theo, chúng ta cần tính độ dài đoạn thẳng BC. Để làm điều này, ta sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông \(ABC\). Theo định lí Pythagoras, ta có: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] Thay vào đó, ta có: \[6^2 + 8^2 = AC^2 + BC^2\] \[36 + 64 = AC^2 + BC^2\] \[100 = AC^2 + BC^2\] Vì \(AC = 8 \mathrm{~cm}\), ta có: \[100 = 8^2 + BC^2\] \[100 = 64 + BC^2\] \[36 = BC^2\] Do đó, ta có \(BC = 6 \mathrm{~cm}\). Từ đó, chúng ta đã chứng minh được rằng hai tam giác ABC và HCA đồng dạng và độ dài đoạn thẳng BC là 6 cm. Với các bước chứng minh và tính toán trên, chúng ta đã giải quyết được bài toán theo yêu cầu đề bài.