Chứng minh rằng $S=\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}+\cdots +\frac {1}{2020^{2}}$ không phải là số tự nhiên

Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi vào cuộc tranh luận về tính chất của dãy số $S=\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}+\cdots +\frac {1}{2020^{2}}$. Yêu cầu của chúng ta là chứng minh rằng $S$ không phải là một số tự nhiên. Để bắt đầu, hãy xem xét các thành phần của dãy số này. Ta có $\frac {1}{2^{2}}$, $\frac {1}{3^{2}}$, $\frac {1}{4^{2}}$, và tiếp tục cho đến $\frac {1}{2020^{2}}$. Điều quan trọng là nhận ra rằng tất cả các số này đều là các số thập phân nhỏ hơn 1. Giả sử rằng $S$ là một số tự nhiên. Khi đó, tổng của các số thập phân nhỏ hơn 1 này cũng phải là một số tự nhiên. Tuy nhiên, chúng ta có thể thấy rằng tổng các số này là một số thập phân lớn hơn 1. Vì vậy, giả định ban đầu của chúng ta là sai. Để chứng minh điều này một cách chính xác, chúng ta có thể sử dụng phương pháp toán học gọi là phương pháp giả định ngược. Đầu tiên, chúng ta giả định rằng $S$ là một số tự nhiên. Sau đó, chúng ta sẽ chứng minh rằng giả định này dẫn đến một mâu thuẫn. Mâu thuẫn này sẽ chỉ ra rằng giả định ban đầu của chúng ta là sai. Từ giả định ban đầu, ta có thể viết lại $S$ dưới dạng $S=1+\left(\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}+\cdots +\frac {1}{2020^{2}}\right)$. Như đã đề cập trước đó, phần trong ngoặc đơn là một số thập phân nhỏ hơn 1. Do đó, ta có thể kết luận rằng $S$ là một số tự nhiên duy nhất khi và chỉ khi phần trong ngoặc đơn bằng 0. Tuy nhiên, chúng ta có thể chứng minh rằng phần trong ngoặc đơn không thể bằng 0. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một công thức toán học gọi là công thức Euler. Công thức này cho biết rằng $\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}+\cdots$ là một dãy số vô hạn hội tụ và có giá trị chính xác là $\frac {\pi ^{2}}{6}$. Vì vậy, phần trong ngoặc đơn không thể bằng 0 và do đó, $S$ không thể là một số tự nhiên. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng $S=\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}+\cdots +\frac {1}{2020^{2}}$ không phải là một số tự nhiên. Kết luận: Trong bài viết này, chúng ta đã tranh luận về tính chất của dãy số $S=\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}+\cdots +\frac {1}{2020^{2}}$. Chúng ta đã chứng minh rằng $S$ không phải là một số tự nhiên bằng cách sử dụng phương pháp giả định ngược và công thức Euler.