Tính tổng và tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính tổng của một dãy số và tìm số tự nhiên n thỏa mãn một điều kiện nhất định. Yêu cầu của chúng ta là tính tổng của dãy số \(S = 1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 + \ldots + 2^{100}\) và tìm số tự nhiên n sao cho \(2n + 8\) chia hết cho \(n - 1\). Đầu tiên, chúng ta sẽ tính tổng của dãy số \(S\). Để làm điều này, chúng ta có thể nhận thấy rằng mỗi số trong dãy số là lũy thừa của 2 với mũ là một số chẵn. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết lại dãy số như sau: \(S = 1 + 4 + 16 + 64 + \ldots + 2^{100}\). Để tính tổng này, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một dãy số hình học. Công thức này là: \(S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\), trong đó \(a\) là số hạng đầu tiên, \(r\) là công bội và \(n\) là số lượng số hạng trong dãy số. Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(r = 2\) và \(n = 51\) (vì có 51 số hạng từ \(2^0\) đến \(2^{100}\)). Áp dụng công thức, ta có: \(S = \frac{1(1 - 2^{102})}{1 - 2} = \frac{1 - 2^{102}}{-1} = 2^{102} - 1\). Vậy tổng của dãy số \(S\) là \(2^{102} - 1\). Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện \(2n + 8\) chia hết cho \(n - 1\). Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng phép chia có dư. Điều kiện này có thể được viết lại dưới dạng \(2n + 8 = k(n - 1)\), trong đó k là một số nguyên. Chúng ta có thể chuyển đổi phương trình này thành \(2n + 8 = kn - k\), hoặc \(kn - 2n = k - 8\). Tiếp theo, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với \(-1\) để đưa phương trình về dạng \(2n - kn = 8 - k\). Bây giờ, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với \(-1\) để đưa phương trình về dạng \(2n - kn = 8 - k\). Điều này có thể được viết lại dưới dạng \(n(2 - k) = 8 - k\). Để tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện, chúng ta cần tìm một giá trị nguyên dương của n sao cho phương trình này đúng. Để làm điều này, chúng ta có thể thử các giá trị của k từ 1 đến 7. Khi k = 1, phương trình trở thành \(n(2 - 1) = 8 - 1\), hoặc \(n = 7\). Khi k = 2, phương trình trở thành \(n(2 - 2) = 8 - 2\), hoặc \(0 = 6\), điều này không đúng. Khi k = 3, phương trình trở thành \(n(2 - 3) = 8 - 3\), hoặc \(-n = 5\), điều này cũng không đúng. Tiếp tục quá trình này, chúng ta thấy rằng khi k = 7, phương trình trở thành \(n(2 - 7) = 8 - 7\), hoặc \(-5n = 1\), điều này cũng không đúng. Vậy, không có số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện \(2n + 8\) chia hết cho \(n - 1\). Tóm lại, chúng ta đã tính được tổng của dãy số \(S\) và tìm ra rằng không có số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện \(2n + 8\) chia hết cho \(n - 1\).