Các bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải quyết một số bài tập liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân. Chúng ta sẽ tìm hiểu về các khái niệm cơ bản và áp dụng chúng để giải quyết các câu hỏi cụ thể. Bài tập 1: Cho một cấp số cộng \( \left(u_{n}\right) \) có \( u_{1}=4, u_{2}=1 \). Chúng ta cần tìm giá trị của \( u_{3} \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \( u_{n} = u_{1} + (n-1)d \), trong đó \( d \) là công sai. Áp dụng công thức này, ta có \( u_{3} = 4 + (3-1)d \). Với \( u_{1}=4 \) và \( u_{2}=1 \), ta có thể tính được \( d = -3 \). Thay vào công thức, ta có \( u_{3} = 4 + (3-1)(-3) = -2 \). Vậy, giá trị của \( u_{3} \) là -2. Đáp án đúng là B. -9. Bài tập 2: Trong các dãy số sau, chúng ta cần xác định dãy số nào là một cấp số nhân. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra xem các số hạng trong dãy có tỉ lệ nhân nhau hay không. Trong dãy A, các số hạng không có một tỉ lệ nhân nhau cố định. Trong dãy B, tất cả các số hạng đều giống nhau, không có sự thay đổi. Trong dãy C, các số hạng không có một tỉ lệ nhân nhau cố định. Trong dãy D, các số hạng có một tỉ lệ nhân nhau cố định, với công bội là 1. Vậy, dãy số D là một cấp số nhân. Đáp án đúng là D. 10. Bài tập 3: Chúng ta cần xác định số hàng đầu \( u_{1} \) và công sai \( d \) của cấp số cộng \( \left(u_{n}\right) \) có \( u_{3}=5 u_{2} \) và \( u_{13}=2 u_{6}+5 \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sử dụng hệ thức tổng quát của cấp số cộng và giải hệ phương trình. Áp dụng công thức \( u_{n} = u_{1} + (n-1)d \), ta có \( u_{3} = u_{1} + 2d \) và \( u_{13} = u_{1} + 12d \). Từ đó, ta có thể tạo ra hệ phương trình sau: \( u_{1} + 2d = 5(u_{1} + d) \) và \( u_{1} + 12d = 2(u_{1} + 6d) + 5 \). Giải hệ phương trình này, ta tìm được \( u_{1} = 3 \) và \( d = 4 \). Vậy, số hàng đầu \( u_{1} \) là 3 và công sai \( d \) là 4. Đáp án đúng là A. \( u_{1}=3 \) và \( d=4 \). Bài tập 4: Cho cấp số cộng \( \left(u_{n}\right) \) có \( u_{4}=-12, u_{14}=18 \). Chúng ta cần tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \( S_{n} = \frac{n}{2}(u_{1} + u_{n}) \), trong đó \( S_{n} \) là tổng n số hạng đầu tiên. Áp dụng công thức này, ta có \( S_{16} = \frac{16}{2}(-12 + 18) = 48 \). Vậy, tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là 48.