Giải phương trình bậc hai và tìm số nghiệm phụ thuộc vào m

Phương trình bậc hai \(x^2 - 2mx - 1 = 0\) là một phương trình bậc hai với hệ số a = 1, b = -2m và c = -1. Chúng ta sẽ giải phương trình này và tìm số nghiệm phụ thuộc vào giá trị của m. a) Giải phương trình khi m = 1: Khi m = 1, phương trình trở thành \(x^2 - 2x - 1 = 0\). Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Áp dụng công thức, ta có: \(x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}\) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}\) \(x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}\) \(x = 1 \pm \sqrt{2}\) Vậy, khi m = 1, phương trình có hai nghiệm là \(x = 1 + \sqrt{2}\) và \(x = 1 - \sqrt{2}\). b) Tìm giá trị của m để phương trình luôn có 10 nghiệm: Để phương trình luôn có 10 nghiệm, ta cần tìm giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm kép và nghiệm kép này xuất hiện 5 lần. Điều này có nghĩa là nghiệm kép của phương trình là \(x = \frac{-b}{2a}\) và nó xuất hiện 5 lần. Áp dụng vào phương trình \(x^2 - 2mx - 1 = 0\), ta có: \(x = \frac{-(-2m)}{2(1)}\) \(x = \frac{2m}{2}\) \(x = m\) Vậy, để phương trình có 10 nghiệm, ta cần tìm giá trị của m sao cho m là nghiệm kép và nó xuất hiện 5 lần. Tuy nhiên, phương trình bậc hai chỉ có thể có tối đa 2 nghiệm, do đó không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu này. c) Phương trình luôn có 10 nghiệm với m bất kỳ: Dựa vào phần b), ta đã biết rằng không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu phương trình luôn có 10 nghiệm. Do đó, không có giá trị của m nào khiến phương trình luôn có 10 nghiệm. Tóm lại, phương trình \(x^2 - 2mx - 1 = 0\) có hai nghiệm phụ thuộc vào giá trị của m khi m = 1 và không có giá trị của m nào khiến phương trình luôn có 10 nghiệm.