Chứng minh tính chất của hiệp phương sai và hệ số tương quan

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh tính chất quan trọng của hiệp phương sai và hệ số tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên \(X\) và \(Y\). Đầu tiên, chúng ta sẽ xác định công thức tính hiệp phương sai và hệ số tương quan, sau đó chứng minh các tính chất quan trọng của chúng. Hiệp phương sai (Covariance) giữa hai biến ngẫu nhiên \(X\) và \(Y\) được định nghĩa là kỳ vọng của tích chênh lệch giữa \(X\) và kỳ vọng của \(X\) với chênh lệch giữa \(Y\) và kỳ vọng của \(Y\). Công thức tính hiệp phương sai là: \[ \operatorname{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}((X - \mathbb{E}X)(Y - \mathbb{E}Y)) \] Hệ số tương quan (Correlation coefficient) giữa \(X\) và \(Y\) được tính bằng cách chia hiệp phương sai giữa \(X\) và \(Y\) cho căn bậc hai của tích phương sai của \(X\) và \(Y\). Công thức tính hệ số tương quan là: \[ \operatorname{Cor}(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}} \] Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh các tính chất quan trọng của hiệp phương sai và hệ số tương quan. Tính chất 1: \(|\operatorname{Cor}(X, Y)| \leqslant 1\) Để chứng minh tính chất này, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Áp dụng bất đẳng thức này cho tích \(|X - \mathbb{E}X||Y - \mathbb{E}Y|\), ta có: \[ |X - \mathbb{E}X||Y - \mathbb{E}Y| \geqslant |\operatorname{Cov}(X, Y)| \] Từ đó, ta có: \[ |\operatorname{Cor}(X, Y)| = \frac{|\operatorname{Cov}(X, Y)|}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}} \leqslant 1 \] Do đó, tính chất \(|\operatorname{Cor}(X, Y)| \leqslant 1\) được chứng minh. Tính chất 2: Nếu \(X\) và \(Y\) độc lập, thì \(\operatorname{Cor}(X, Y) = 0\) Khi \(X\) và \(Y\) độc lập, hiệp phương sai giữa chúng sẽ bằng 0, tức là \(\operatorname{Cov}(X, Y) = 0\). Từ đó, ta có: \[ \operatorname{Cor}(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}} = \frac{0}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}} = 0 \] Do đó, tính chất \(\operatorname{Cor}(X, Y) = 0\) khi \(X\) và \(Y\) độc lập được chứng minh. Trên đây là cách chúng ta chứng minh tính chất quan trọng của hiệp phương sai và hệ số tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên \(X\) và \(Y\). Hi vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về các khái niệm này và cách chứng minh tính chất của chúng.