Tính đạo hàm bậc hai của hàm \( f(x)=\frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+1} \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính đạo hàm bậc hai của hàm \( f(x)=\frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+1} \). Để làm điều này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm và sử dụng đạo hàm bậc nhất của hàm \( f(x) \). Đầu tiên, chúng ta cần tính đạo hàm bậc nhất của hàm \( f(x) \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+1}\right) \] Để tính đạo hàm này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và quy tắc đạo hàm của hàm mũ. Kết quả là: \[ f'(x) = \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+1} \cdot \frac{d}{dx}\left(x \sqrt{x^{2}+2}\right) - \frac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right) \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}} \] Tiếp theo, chúng ta cần tính đạo hàm của \( x \sqrt{x^{2}+2} \) và \( x^{2}+1 \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm tích và đạo hàm của hàm mũ. Kết quả là: \[ \frac{d}{dx}\left(x \sqrt{x^{2}+2}\right) = \sqrt{x^{2}+2} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right) \] \[ \frac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right) = 2x \] Sau khi tính toán, ta có: \[ f'(x) = \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+1} \cdot \left(\sqrt{x^{2}+2} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)\right) - 2x \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính đạo hàm bậc hai của hàm \( f(x) \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và quy tắc đạo hàm của hàm tích, ta có: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+1} \cdot \left(\sqrt{x^{2}+2} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)\right) - 2x \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}}\right) \] Để tính đạo hàm này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và quy tắc đạo hàm của hàm tích. Kết quả là: \[ f''(x) = \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+1} \cdot \left(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)\right)\right) - \frac{d}{dx}\left(2x \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta cần tính đạo hàm của \( \sqrt{x^{2}+2} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right) \) và \( 2x \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}} \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm tổng và quy tắc đạo hàm của hàm tích. Kết quả là: \[ \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right) + \frac{d}{dx}\left(x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)\right) \] \[ \frac{d}{dx}\left(2x \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}}\right) = 2 \cdot \frac{d}{dx}\left(x \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}}\right) \] Sau khi tính toán, ta có: \[ \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}} + \frac{d}{dx}\left(x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)\right) \] \[ \frac{d}{dx}\left(2x \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}}\right) = 2 \cdot \frac{d}{dx}\left(x \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}}\right) \] Cuối cùng, chúng ta có: \[ f''(x) = \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+1} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}} + \frac{d}{dx}\left(x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)\right)\right) - 2 \cdot \frac{d}{dx}\left(x \cdot \frac{e^{x \sqrt{x^{2}+2}}}{(x^{2}+1)^{2}}\right) \] Từ đây, chúng ta có thể tiếp tục tính toán để tìm ra giá trị chính xác của \( f''(x) \).