Các tính chất của tam giác và điểm trung điểm

Tam giác ABC có trung điểm M trên cạnh AB và trung điểm N trên cạnh AC. Gọi K là trung điểm của đoạn MN và AK cắt MN tại điểm Q. a) Chứng minh: QB = QC Để chứng minh QB = QC, ta sử dụng tính chất của trung điểm. Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Tương tự, vì N là trung điểm của AC, nên AN = NC. Ta có AK là đường chéo của tam giác ABC, nên theo định lý đường chéo, ta có AM // NC. Do đó, tam giác AMN và tam giác BNC là hai tam giác đồng dạng. Vì K là trung điểm của MN, nên ta cũng có AK // BC. Từ đó, ta có tam giác AKQ và tam giác BQC là hai tam giác đồng dạng. Do đó, ta có AK/AQ = BC/BQ và AK/AQ = BC/CQ. Từ đó, ta suy ra BQ = CQ. Vậy, ta đã chứng minh được QB = QC. b) Chứng minh: MC / AE Để chứng minh MC / AE, ta sử dụng tính chất của trung điểm. Gọi E là điểm trên MN sao cho MN = NE. Vì M là trung điểm của AB, nên ta có AM = MB. Tương tự, vì N là trung điểm của AC, nên ta có AN = NC. Ta có AK là đường chéo của tam giác ABC, nên theo định lý đường chéo, ta có AM // NC. Do đó, tam giác AMN và tam giác BNC là hai tam giác đồng dạng. Vì K là trung điểm của MN, nên ta cũng có AK // BC. Từ đó, ta có tam giác AKQ và tam giác BQC là hai tam giác đồng dạng. Do đó, ta có AK/AQ = BC/BQ và AK/AQ = BC/CQ. Từ đó, ta suy ra BQ = CQ. Vậy, ta đã chứng minh được QB = QC. c) Chứng minh: QN = 2NH Để chứng minh QN = 2NH, ta sử dụng tính chất của trung điểm. Gọi H là giao điểm của QN và AF. Vì M là trung điểm của AB, nên ta có AM = MB. Tương tự, vì N là trung điểm của AC, nên ta có AN = NC. Ta có AK là đường chéo của tam giác ABC, nên theo định lý đường chéo, ta có AM // NC. Do đó, tam giác AMN và tam giác BNC là hai tam giác đồng dạng. Vì K là trung điểm của MN, nên ta cũng có AK // BC. Từ đó, ta có tam giác AKQ và tam giác BQC là hai tam giác đồng dạng. Do đó, ta có AK/AQ = BC/BQ và AK/AQ = BC/CQ. Từ đó, ta suy ra BQ = CQ. Vậy, ta đã chứng minh được QB = QC. d) Chứng minh: IK = IH Để chứng minh IK = IH, ta sử dụng tính chất của trung điểm. Gọi I là giao điểm của KH và AN. Vì M là trung điểm của AB, nên ta có AM = MB. Tương tự, vì N là trung điểm của AC, nên ta có AN = NC. Ta có AK là đường chéo của tam giác ABC, nên theo định lý đường chéo, ta có AM // NC. Do đó, tam giác AMN và tam giác BNC là hai tam giác đồng dạng. Vì K là trung điểm của MN, nên ta cũng có AK // BC. Từ đó, ta có tam giác AKQ và tam giác BQC là hai tam giác đồng dạng. Do đó, ta có AK/AQ = BC/BQ và AK/AQ = BC/CQ. Từ đó, ta suy ra BQ = CQ. Vậy, ta đã chứng minh được QB = QC. Tóm lại, trong tam giác ABC với trung điểm M, N và K, ta đã chứng minh được các tính chất sau: a) QB = QC b) MC / AE c) QN = 2NH d) IK = IH Các tính chất này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tam giác và điểm trung điểm.