Chứng minh bất đẳng thức cho \(a, b, c > 0\) thỏa mãn \(abc = 1\)

Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh bất đẳng thức sau đối với các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(abc = 1\): \[ \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)} \geq \frac{3}{2} \quad (1) \] Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Giả sử bất đẳng thức (1) không đúng, tức là: \[ \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)} < \frac{3}{2} \] Ta có thể đặt \(x = \frac{1}{a}\), \(y = \frac{1}{b}\), \(z = \frac{1}{c}\). Khi đó, \(xyz = 1\) và bất đẳng thức trở thành: \[ \frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y} < \frac{3}{2} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ \left(\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}\right)\left((y+z)+(z+x)+(x+y)\right) \geq (x+y+z)^{2} \] Từ đó, ta có: \[ \frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)} = \frac{x+y+z}{2} \] Vì \(xyz = 1\), nên \(x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz} = 3\). Do đó: \[ \frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3}{2} \] Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu, suy ra bất đẳng thức (1) phải đúng. Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức: \[ \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)} \geq \frac{3}{2} \] đối với các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(abc = 1\).