Xác định trọng tâm và tính khối lượng của các đường cong trong không gian

Bài 1: Xác định trọng tâm của một sọi dây dồng chất với biểu diễn tham số \( x=2 \cos t, y=2 \sin t, z=t, t \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right] \) Trọng tâm của một đối tượng được xác định bằng cách tính trung bình của các điểm trên đối tượng, trong đó mỗi điểm được trọng số theo khối lượng của nó. Trong trường hợp này, chúng ta có một sọi dây dồng chất được biểu diễn bằng các phương trình tham số \( x=2 \cos t, y=2 \sin t, z=t \) trong khoảng thời gian \( t \) từ 0 đến \( \frac{\pi}{3} \). Để tính trọng tâm, chúng ta cần tính toán các giá trị \( x, y, z \) tương ứng với mỗi giá trị \( t \) trong khoảng đã cho. Sau đó, chúng ta sẽ tính trung bình của các giá trị \( x, y, z \) để xác định trọng tâm. Bài 2: Tính khối lượng của một vật có dạng đường đinh ốc \( \left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\ y=\sin t \\ z=t\end{array}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi\right. \) với khối lượng riêng theo chiều dài \( \rho(x, y, z)=a \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}(\mathrm{~kg} / \mathrm{m}) \) Để tính khối lượng của vật, chúng ta cần tính toán độ dài của đường đinh ốc từ \( t = 0 \) đến \( t = 2\pi \). Sau đó, chúng ta sẽ tính tổng của các độ dài nhỏ nhất trong khoảng thời gian đã cho và nhân với khối lượng riêng \( \rho(x, y, z) \) để tính toán khối lượng. Trong cả hai bài toán, chúng ta cần sử dụng kiến thức về tích phân để tính toán các giá trị trọng tâm và khối lượng. Các công thức và phương pháp tính toán cụ thể sẽ được trình bày trong phần tiếp theo của bài viết. Với các bài toán này, chúng ta có thể thấy rằng việc xác định trọng tâm và tính khối lượng của các đường cong trong không gian là một phần quan trọng của việc nghiên cứu và áp dụng toán học trong thực tế.