Chứng minh rằng \( \angle N D C-\angle M A S=90^{\circ} \)

Trong bài toán này, chúng ta cần chứng minh rằng \( \angle N D C-\angle M A S=90^{\circ} \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và quy tắc trong hình học tam giác và đường tròn. Đầu tiên, chúng ta xem xét tam giác \( A B C \) nội tiếp đường tròn \( (O) \) với \( A B<A C \). Chọn điểm \( P \) bất kỳ trên phân giác góc \( \angle B A C \). Khi đó, đường thẳng \( A P \) cắt \( B C \) tại điểm \( D \). Tiếp theo, chúng ta xem xét hai đường tròn \( (P A B) \) và \( (P A C) \). Đường tròn \( (P A B) \) cắt \( C A \) tại điểm \( E \), và đường tròn \( (P A C) \) cắt \( A B \) tại điểm \( F \), khác \( B \) và \( C \). Tiếp theo, chúng ta xem xét đường tròn \( (A E F) \) cắt đường tròn \( (O) \) tại điểm \( R \), khác \( A \). Đường thẳng \( A R \) cắt \( P B \) và \( P C \) tại điểm \( K \) và \( L \) tương ứng. Chúng ta tiếp tục xem xét đường thẳng \( K C \) cắt \( L B \) tại điểm \( J \). Đặt \( S \) là điểm đối xứng của \( A \) qua đường thẳng \( O J \). Đặt \( T \) là điểm thuộc đường tròn \( (A E F) \) sao cho \( A T \| B C \). Đặt \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( S T \), và \( N \) là tâm của đường tròn \( (A S T) \). Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng \( \angle N D C-\angle M A S=90^{\circ} \). Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và quy tắc trong hình học tam giác và đường tròn.