Rút gọn các biểu thức đại số

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách rút gọn các biểu thức đại số. Cụ thể, chúng ta sẽ tập trung vào hai biểu thức sau đây: a) \( (2 x-5 y)(2 x+5 y)+(2 x+5 y)^{2} \) b) \( (x+2 y)\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\right)+(2 x-y)\left(4 x^{2}+2 x y+y^{2}\right) \) Để rút gọn các biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc đại số cơ bản như phân phối và tổng bình phương. Hãy cùng đi vào từng biểu thức để hiểu rõ hơn. a) Đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc phân phối để nhân các số trong ngoặc đơn với các số trong ngoặc kép. Khi làm như vậy, ta có: \( (2 x-5 y)(2 x+5 y) = (2 x)^{2}-(5 y)^{2} = 4 x^{2}-25 y^{2} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc tổng bình phương để tính toán phần tử thứ hai của biểu thức: \( (2 x+5 y)^{2} = (2 x)^{2}+2(2 x)(5 y)+(5 y)^{2} = 4 x^{2}+20 x y+25 y^{2} \) Cuối cùng, chúng ta sẽ cộng hai phần tử đã tính được: \( 4 x^{2}-25 y^{2}+4 x^{2}+20 x y+25 y^{2} = 8 x^{2}+20 x y \) Vậy, biểu thức \( (2 x-5 y)(2 x+5 y)+(2 x+5 y)^{2} \) đã được rút gọn thành \( 8 x^{2}+20 x y \). b) Tương tự như trường hợp trên, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc phân phối và tổng bình phương để rút gọn biểu thức này. Đầu tiên, chúng ta nhân các số trong ngoặc đơn với các số trong ngoặc kép: \( (x+2 y)\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\right) = x(x^{2}-2 x y+4 y^{2})+2 y(x^{2}-2 x y+4 y^{2}) \) \( (2 x-y)\left(4 x^{2}+2 x y+y^{2}\right) = (2 x)(4 x^{2}+2 x y+y^{2})-(y)(4 x^{2}+2 x y+y^{2}) \) Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn từng phần tử trong biểu thức: \( x(x^{2}-2 x y+4 y^{2}) = x^{3}-2 x^{2} y+4 x y^{2} \) \( 2 y(x^{2}-2 x y+4 y^{2}) = 2 x^{2} y-4 x y^{2}+8 y^{3} \) \( (2 x)(4 x^{2}+2 x y+y^{2}) = 8 x^{3}+4 x^{2} y+2 x y^{2} \) \( (y)(4 x^{2}+2 x y+y^{2}) = 4 x^{2} y+2 x y^{2}+y^{3} \) Cuối cùng, chúng ta cộng các phần tử đã rút gọn: \( x^{3}-2 x^{2} y+4 x y^{2}+2 x^{2} y-4 x y^{2}+8 y^{3}+8 x^{3}+4 x^{2} y+2 x y^{2}+4 x^{2} y+2 x y^{2}+y^{3} \) Sau khi rút gọn, ta được: \( 9 x^{3}+8 y^{3} \) Vậy, biểu thức \( (x+2 y)\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\right)+(2 x-y)\left(4 x^{2}+2 x y+y^{2}\right) \) đã được rút gọn thành \( 9 x^{3}+8 y^{3} \). Tóm lại, chúng ta đã thành công trong việc rút gọn các biểu thức đại số đã cho. Việc này giúp chúng ta dễ dàng làm việc với các biểu thức phức tạp hơn và giải quyết các bài toán đại số một cách hiệu quả.