Xác định và phân tích hàm số từ đồ thị

Hàm số \( y=f(x) \) được cho bởi đồ thị như hình bên. Chúng ta sẽ xác định hàm số này và lập bảng biến thiên của nó. Sau đó, chúng ta sẽ xem xét hai điểm \( M(-1 ; 2) \) và \( N(4 ;-4) \) để xác định điểm nào thuộc đồ thị của hàm số. a) Xác định hàm số \( y=f(x) \): Để xác định hàm số \( y=f(x) \), chúng ta cần xem xét các đặc điểm của đồ thị. Từ đồ thị, chúng ta có thể thấy rằng hàm số là một đường thẳng đi qua hai điểm \( A(0 ; -1) \) và \( B(3 ; 3) \). Điều này cho thấy rằng hàm số có dạng \( y=ax+b \), với \( a \) là hệ số góc và \( b \) là hệ số tự do. Để tìm \( a \) và \( b \), chúng ta có thể sử dụng hai điểm đã cho. Áp dụng công thức đường thẳng đi qua hai điểm, ta có: \( a = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{-4 - 2}}{{4 - (-1)}} = -\frac{6}{5} \) \( b = y_1 - ax_1 = 2 - (-\frac{6}{5}) \times (-1) = \frac{12}{5} \) Vậy hàm số \( y=f(x) \) là \( y = -\frac{6}{5}x + \frac{12}{5} \). b) Lập bảng biến thiên của hàm số: Để lập bảng biến thiên của hàm số, chúng ta cần xem xét các điểm quan trọng trên đồ thị. Từ đồ thị, chúng ta có thể thấy rằng hàm số là một đường thẳng nghiêng âm, do đó hệ số góc \( a \) là âm. Điều này cho thấy rằng hàm số là một hàm giảm trên toàn miền xác định. Để lập bảng biến thiên, chúng ta có thể chọn một điểm bất kỳ trong miền xác định và kiểm tra giá trị của hàm số tại điểm đó. Ví dụ, chúng ta có thể chọn điểm \( x = 0 \). Tại điểm này, giá trị của hàm số là \( y = \frac{12}{5} \). Tiếp theo, chúng ta có thể chọn một điểm khác trong miền xác định, ví dụ \( x = 1 \), và kiểm tra giá trị của hàm số tại điểm đó. Tại điểm này, giá trị của hàm số là \( y = \frac{2}{5} \). Từ các giá trị này, chúng ta có thể xác định các khoảng tăng và giảm của hàm số. Với hàm số \( y = -\frac{6}{5}x + \frac{12}{5} \), chúng ta có: - Khoảng tăng: \( -\infty < x < 0 \) - Khoảng giảm: \( 0 < x < \infty \) c) Xác định điểm thuộc đồ thị: Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét hai điểm \( M(-1 ; 2) \) và \( N(4 ;-4) \) để xác định điểm nào thuộc đồ thị của hàm số. Để kiểm tra xem một điểm có thuộc đồ thị của hàm số hay không, chúng ta chỉ cần thay vào giá trị của điểm đó vào phương trình hàm số và kiểm tra xem phương trình có đúng hay không. Thay \( x = -1 \) vào phương trình hàm số, ta có: \( y = -\frac{6}{5}(-1) + \frac{12}{5} = \frac{18}{5} \) Vậy điểm \( M(-1 ; 2) \) không thuộc đồ thị của hàm số. Thay \( x = 4 \) vào phương trình hàm số, ta có: \( y = -\frac{6}{5}(4) + \frac{12}{5} = -\frac{12}{5} \) Vậy điểm \( N(4 ;-4) \) thuộc đồ thị của hàm số. Kết luận: - Hàm số \( y=f(x) \) là \( y = -\frac{6}{5}x + \frac{12}{5} \). - Bảng biến thiên của hàm số: - Khoảng tăng: \( -\infty < x < 0 \) - Khoảng giảm: \( 0 < x < \infty \) - Điểm \( M(-1 ; 2) \) không thuộc đồ thị của hàm số. - Điểm \( N(4 ;-4) \) thuộc đồ thị của hàm số.