Chứng minh trong tam giác cân

Trong tam giác cân \( \Delta ABC \) ở \( A \) (\( A < 90^{\circ} \)), gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \). Kẻ \( IH \) vuông góc với \( AB \) (\( H \in AB \)), \( IK \) vuông góc với \( AC \) (\( K \in AC \)). a) Ta có \( \Delta AIB = \Delta AIC \): - Vì \( I \) là trung điểm của \( BC \), nên \( IB = IC \). - Góc \( AIB = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle BAC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle BAC = \angle AIC \) (do \( \Delta ABC \) cân). - Do đó, theo góc - cạnh - góc, ta có \( \Delta AIB = \Delta AIC \). b) Chứng minh \( \Delta AIH = \Delta AIK \) và so sánh \( IB \) với \( IK \): - Ta có \( \Delta AIH = \Delta AIK \) vì: + \( AH = AK \) (do \( \Delta ABC \) cân). + Góc \( HAI = 90^{\circ} - \angle BAC = \angle KAI \) (do \( IH \perp AB \) và \( IK \perp AC \)). - Vậy, \( \Delta AIH = \Delta AIK \). - Vì \( IB = IC \) và \( AH = AK \), nên \( IB = IK \). c) Chứng minh \( HK \parallel BC \): - Ta có \( \Delta AIH = \Delta AIK \) (đã chứng minh ở bước b). - Do đó, \( IH = IK \). - Vậy, \( HK \parallel BC \) (do \( IH = IK \) và hai đường thẳng này đều vuông góc với \( AB \)). Như vậy, qua các bước chứng minh trên, ta đã chứng minh được các mệnh đề liên quan trong tam giác cân \( \Delta ABC \).