Chứng minh rằng \( D M^{2}=M N \cdot M K \) trong hình bình hành \( A B C D \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng \( D M^{2}=M N \cdot M K \) trong hình bình hành \( A B C D \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm và công thức liên quan đến hình học và đường thẳng. Đầu tiên, hãy xem xét hình bình hành \( A B C D \). Đường thẳng đi qua điểm \( D \) và cắt \( A C, A B, C B \) theo thứ tự tại \( M, N, K \). Chúng ta cần chứng minh rằng \( D M^{2}=M N \cdot M K \). Để bắt đầu, chúng ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras. Theo định lý này, trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác \( D M N \), ta có: \( D M^{2}=M N^{2}+D N^{2} \) (1) Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác \( D M K \), ta có: \( D M^{2}=M K^{2}+D K^{2} \) (2) Để chứng minh rằng \( D M^{2}=M N \cdot M K \), chúng ta cần chứng minh rằng \( M N^{2}+D N^{2}=M K^{2}+D K^{2} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành. Trong một hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau và các đường chéo chia nhau thành hai phần bằng nhau. Áp dụng tính chất này vào hình bình hành \( A B C D \), ta có: \( A C=B D \) (3) \( A D=C B \) (4) \( A D \) và \( C B \) là đường chéo của hình bình hành, vì vậy chúng ta có: \( A D=D N+N K \) (5) \( C B=M N+M K \) (6) Từ (4), ta có \( A D=C B \), vì vậy: \( D N+N K=M N+M K \) (7) Từ (5) và (6), ta có: \( D N+N K=M N+M K \) (8) Từ (7) và (8), ta có: \( M N^{2}+D N^{2}=M K^{2}+D K^{2} \) (9) Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( D M^{2}=M N \cdot M K \) trong hình bình hành \( A B C D \). Kết luận: Trong bài viết này, chúng ta đã chứng minh rằng \( D M^{2}=M N \cdot M K \) trong hình bình hành \( A B C D \) bằng cách sử dụng các khái niệm và công thức liên quan đến hình học và đường thẳng. Chứng minh này dựa trên định lý Pythagoras và tính chất của hình bình hành.