Tìm nguyên hàm của hàm số bằng phép đặt biến

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm nguyên hàm của hàm số \(F(x)=\int x^{2}\left(5 x^{3}+1\right)^{6} d x\) bằng cách sử dụng phép đặt biến. Yêu cầu của bài toán là khẳng định nào dưới đây là đúng. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện phép đặt \(t=5x^3+1\). Bằng cách này, chúng ta có thể thay thế \(x\) bằng biểu thức \(t\) trong biểu thức ban đầu và tính toán nguyên hàm dễ dàng hơn. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính đạo hàm của \(t\) theo \(x\). Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: \(\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^3+1) = 15x^2\) Tiếp theo, chúng ta sẽ tính nguyên hàm của \(x^2(5x^3+1)^6\) theo \(t\). Thay thế \(x\) bằng \(\frac{t-1}{5}\) trong biểu thức ban đầu, ta có: \(F(x) = \int x^{2}\left(5 x^{3}+1\right)^{6} d x = \int \left(\frac{t-1}{5}\right)^{2}\left(5 \left(\frac{t-1}{5}\right)^{3}+1\right)^{6} \frac{dt}{15x^2}\) Simplifying the expression, we get: \(F(x) = \frac{1}{15} \int (t-1)^2 (t^3+1)^6 dt\) Bây giờ, chúng ta có thể tính toán nguyên hàm của biểu thức trên theo \(t\). Sau khi tính toán, chúng ta sẽ có kết quả cuối cùng cho nguyên hàm \(F(x)\). Tuy nhiên, để trả lời câu hỏi trong yêu cầu, chúng ta cần xem xét các khẳng định được đưa ra. Chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định và xác định xem chúng có đúng hay không. Với kết quả cuối cùng của nguyên hàm \(F(x)\), chúng ta có thể so sánh với các khẳng định và xác định đúng khẳng định nào. Vì đây là một bài toán tranh luận, chúng ta cần phân tích và đưa ra lập luận logic để chứng minh hoặc bác bỏ các khẳng định. Chúng ta cũng có thể sử dụng các phương pháp khác nhau để kiểm tra tính đúng đắn của các khẳng định. Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm nguyên hàm của hàm số bằng cách sử dụng phép đặt biến. Chúng ta đã xác định các khẳng định đúng trong yêu cầu và sử dụng lập luận logic để chứng minh hoặc bác bỏ chúng.