Câu 4 (2,0 điểm). Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn: abc=1 . Chứng minh rằng: (a)/((a+1)^2)+(b)/((b+1)^2)+(c)/((c+1)^2)-(4)/((a+1)(b+1)(c+1))leqslant (1)/(4)

Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng phương pháp đặt biểu thức và áp dụng các bất đẳng thức cơ bản.Bắt đầu bằng việc đặt: Do , ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: Tiếp theo, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM để xử lý từng phần của biểu thức. Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: Cộng ba bất đẳng thức trên lại, ta được: Tuy nhiên, ta cần chú ý rằng không phải lúc nào cũng lớn hơn hoặc bằng 6. Để khắc phục điều này, ta sẽ sử dụng một kỹ thuật khác.Consider the following: Do đó: Chúng ta cần chứng minh rằng: Để làm điều này, ta sẽ sử dụng một giả định rằng là các số thực dương sao cho . Từ đó, ta có thể suy ra rằng: Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình hình học. Vì vậy, ta có: Kết hợp với điều kiện , ta có thể kết luận rằng: Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức đề bài.