Bài 3 (1,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình x^2+(m-3)x-(m^2+2)=0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Xác định m để hai nghiệm x_(1),x_(2) của phương trình thỏa hệ thức x_(1)^2+x_(2)^2=10

Để chứng minh phương trình \(x^2 + (m-3)x - (m^2 + 2) = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi , ta cần tính delta ( ) của phương trình: Trong trường hợp này, , , và \(c = -(m^2 + 2)\). Thay các giá trị này vào công thức delta: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, phải lớn hơn 0: Xét hàm số \(f(m) = 5m^2 - 6m + 17\). Đây là một parabol mở lên trên vì hệ số của là dương. Ta cần kiểm tra xem đỉnh của parabol có nằm trên trục hoành hay không. Đỉnh của parabol có tọa độ: Thay vào \(f(m)\): Vì \(f(m) > 0\) với mọi , nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.Tiếp theo, xác định để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức .Sử dụng công thức Viète: Ta có: Thay vào hệ thức cần tìm: Vậy, là giá trị cần tìm để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức .