Câu 1. Cho hình binh hành ABCD tâm O. Gọi G là trọng tâm Delta OBC và M là điểm trên cạnh AD sao cho MD=2MA . Biết rằng tồn tại duy nhất hai số thực x; y sao cho overrightarrow (MG)=xoverrightarrow (AB)+yoverrightarrow (AD) . Tính 5x+11y

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình bình hành và trọng tâm của tam giác. Gọi là giao điểm của các đường chéo và của hình bình hành . Vì là trọng tâm của , nên .Vì là điểm trên cạnh sao cho , ta có và .Bây giờ, chúng ta biểu diễn vector dưới dạng tổ hợp tuyến tính của và : Chúng ta biết rằng và . Do đó, ta có: Để tìm và , chúng ta cần sử dụng tính chất của trọng tâm. Trọng tâm của một tam giác chia đoạn nối giữa hai đỉnh thành tỉ lệ 2:1, với đoạn dài hơn là đoạn nối từ trọng tâm đến đỉnh còn lại.Vì vậy, ta có: Nhưng , nên: Do đó, .Tương tự, vì chia theo tỉ lệ 1:2, ta có: Nhưng , nên: Do đó, .Cuối cùng, ta tính : Vậy, .