Tính công sinh ra do trường luc F(x,y)=(c^x-8y^2)i+(e^y+8x^2)j tác déng lên vật làm vật di chuyển một vòng kín dọc theo biến của miền phẳng D giới hạn bởi các dường y=x,y=x^2 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Giải. Áp dụng Định lý Green ta có W=oint _(C)Fcdot dR=iint _(D)^int _(D)dd Tiếp tục tính toán ta có W=int _(x_(1)^2y_(1)(x))^x_(1(x))dydx= (chú ý thứ tự lấy tích phân để viết đúng cận lấy tích phân), trong dó x_(1)= x_(1)= x_(1)= x_(1)= x_(1)= x_(1)= x_(1)=

Để tính công sinh ra do trường lực \( F(x,y) = (e^x - 8y^2)i + (e^y + 8x^2)j \) tác động lên vật làm vật di chuyển một vòng kín dọc theo biên của miền phẳng giới hạn bởi các đường , \( y = x^) theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, ta áp dụng Định lý Green: Trong đó, và .Tính đạo hàm riêng: Do đó, Bây giờ, ta tính tích phân kép: Miền được giới hạn bởi và . Ta cần xác định giới hạn tích phân. Khi , . Khi , .Vậy, ta có: Tính tích phân bên trong: Tính tích phân bên ngoài: Tính từng phần: Kết hợp lại: Vậy, công sinh ra là .