Câu hỏi
Cho phương trình x=cosx và khoảng cách ly nghiệm (0.5,1) . Nếu xuất phát từ x_(0)=0.5 thì cần lặp tối thiểu bao nhiêu lần đề đạt được nghiệm với sáu chữ số đáng tin sau dấu phẩy (đánh giá theo công thức tiên nghiệm) n=96 n=90 n=86 n=80
Giải pháp
4.6
(309 Phiếu)
Anh Nam
người xuất sắc · Hướng dẫn 8 năm
Trả lời
Phương trình đã cho là x = cosx. Để tìm nghiệm, ta sử dụng phương pháp lặp đơn. Công thức lặp là: xn+1 = cos(xn).Để đánh giá số lần lặp tối thiểu cần thiết để đạt được độ chính xác mong muốn, ta sử dụng công thức tiên nghiệm liên quan đến tốc độ hội tụ của phương pháp lặp đơn. Tuy nhiên, công thức tiên nghiệm chính xác phụ thuộc vào đạo hàm của hàm số. Trong trường hợp này, hàm số f(x) = x - cos(x), và đạo hàm là f'(x) = 1 + sin(x).Vì chúng ta đang tìm nghiệm trong khoảng (0.5, 1), ta cần đánh giá giá trị tuyệt đối của đạo hàm trong khoảng này. Giá trị lớn nhất của |f'(x)| trong khoảng (0.5, 1) là 1 + sin(1) ≈ 1.841. Tuy nhiên, phương pháp lặp đơn có tốc độ hội tụ tuyến tính, và việc ước lượng số lần lặp cần thiết dựa trên đạo hàm không chính xác lắm. Công thức tiên nghiệm chính xác hơn cần dựa trên sai số tuyệt đối.Giả sử x* là nghiệm chính xác và xn là nghiệm gần đúng ở lần lặp thứ n. Sai số tuyệt đối là |x* - xn|. Chúng ta muốn sai số này nhỏ hơn 10-6 (sáu chữ số đáng tin cậy sau dấu phẩy).Vì không có công thức tiên nghiệm đơn giản và chính xác để tính số lần lặp cần thiết cho phương pháp lặp đơn trong trường hợp này, chúng ta cần thực hiện phép lặp và kiểm tra sai số. Không có cách nào để tính toán chính xác số lần lặp cần thiết chỉ dựa trên thông tin đã cho mà không thực hiện phép lặp. Các đáp án 96, 90, 86, 80 đều là các ước lượng và không thể xác định được chính xác mà không thực hiện phép tính lặp.**Kết luận:** Không thể xác định số lần lặp tối thiểu cần thiết chỉ dựa trên thông tin đã cho và các đáp án được cung cấp. Cần thực hiện phép lặp và kiểm tra sai số để xác định số lần lặp cần thiết để đạt được độ chính xác mong muốn.