Bài 4. Cho số nguyên n thoả mãn vert 6n^2-17n-39vert là luỹ thita với số mũ nguyên dương của một số nguyên tố. Chứng minh rằng số p=n^2+1 là số nguyên tố.

Ta có với là số nguyên tố và là số nguyên dương.Phân tích .Vì , nên .Nếu , thì . Vì là số nguyên tố, nên một trong ba thừa số , , phải bằng hoặc .Nếu , thì , , không phải luỹ thừa của số nguyên tố.Nếu , thì , , là số nguyên tố. , không phải số nguyên tố.Nếu , thì , không phải luỹ thừa của số nguyên tố.Nếu , thì , không phải luỹ thừa của số nguyên tố.Nếu , thì , không phải luỹ thừa của số nguyên tố.Xét trường hợp . Vì là số nguyên tố, nên , hoặc , hoặc , .Nếu , thì . , không phải luỹ thừa của số nguyên tố.Nếu , thì . , , không phải luỹ thừa của số nguyên tố.Nếu , thì . , . , là số nguyên tố.Vậy đáp án đúng là khi là luỹ thừa của số nguyên tố thì là số nguyên tố. Tuy nhiên, cần chứng minh chặt chẽ hơn. Câu hỏi này cần thêm điều kiện để có thể giải quyết triệt để.