Hình vẽ bên thể hiện một phần đường thẳng (d) có phương trình y=2x-1 và một phần parabol (P) có phương trình y=3x^2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. (a) (2 điểm) Đường thẳng (d) và parabol (P) có cắt nhau không? Vì sao? (b) (4 điểm) Cho các điểm Min (P) và Nin (d) . Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách MN.

**(a)** Đường thẳng và parabol có cắt nhau. **Giải thích:** Để kiểm tra xem và có cắt nhau hay không, ta cần tìm nghiệm của hệ phương trình: \begin{cases}y = 2x - 1 \\y = 3x^2\end{cases} Thay vào phương trình thứ hai, ta được: 2x - 1 = 3x^2 Suy ra . Phương trình này có biệt thức . Do đó, phương trình vô nghiệm. Điều này có nghĩa là hệ phương trình trên vô nghiệm, tức là và không cắt nhau.**(b)** Để tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách MN, ta cần tìm điểm trên và điểm trên sao cho khoảng cách là nhỏ nhất. **Giải thích:** Khoảng cách nhỏ nhất khi và chỉ khi và là hình chiếu vuông góc của nhau lên đường thẳng . Gọi là điểm thuộc và là điểm thuộc . Do vuông góc với nên: \frac{3x_0^2 - (2x_1 - 1)}{x_0 - x_1} = -2 Suy ra: 3x_0^2 - 2x_1 + 1 = -2x_0 + 2x_1 3x_0^2 + 2x_0 - 4x_1 + 1 = 0 Mặt khác, thuộc nên . Do đó: y_0 + 2x_0 - 4x_1 + 1 = 0 y_0 = -2x_0 + 4x_1 - 1 Thay vào phương trình trên, ta được: 3x_0^2 = -2x_0 + 4x_1 - 1 3x_0^2 + 2x_0 - 4x_1 + 1 = 0 Ta có hệ phương trình: \begin{cases}3x_0^2 + 2x_0 - 4x_1 + 1 = 0 \\y_0 = -2x_0 + 4x_1 - 1\end{cases} Giải hệ phương trình này, ta tìm được và . Từ đó, ta tính được tọa độ của và , và suy ra khoảng cách . **Lưu ý:** Để tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách , ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, phương pháp này phức tạp hơn và không cần thiết trong trường hợp này.