Câu hỏi
Câu 8. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC. Đường thǎng vuông góc với CA tại C và đường thẳng vuông góc với BA tại B cắt nhau tại điểm L. 1) Chứng minh rằng M là trung điểm của HL và AL vuông góc với EF. 2) Gọi I, K, P . Q theo thứ tự là hình chiếu của D trên BA, BE, CF . CA.Chứng minh bốn điểm 1,K,P,Q thẳng hàng. 3) Chứng minh rằng: (AD)/(36DH)+(BE)/(9EH)+(CF)/(4FH)geqslant 1
Giải pháp
4
(272 Phiếu)
Nguyễn Văn An
thầy · Hướng dẫn 5 năm
Trả lời
**1. Chứng minh rằng M là trung điểm của HL và AL vuông góc với EF.**- **Giải thích:** - Vì M là trung điểm của BC, nên theo định lý trung điểm, ta có
. - Do đó, góc giữa AM và EF là 90 độ, tức là AL vuông góc với EF. - Vì M là trung điểm của BC và H là trọng tâm của tam giác ABC, nên MH = 2HM. - Suy ra, M là trung điểm của HL.**2. Chứng minh bốn điểm I, K, P, Q thẳng hàng.**- **Giải thích:** - Vì I, K, P, Q là hình chiếu của D trên BA, BE, CF, CA, nên chúng nằm trên các đường thẳng vuông góc với các cạnh tương ứng. - Do đó, I, K, P, Q nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với một cạnh của tam giác ABC. - Vì vậy, bốn điểm I, K, P, Q thẳng hàng.**3. Chứng minh rằng:
**- **Giải thích:** - Vì H là trọng tâm của tam giác ABC, nên các đoạn đường cao AD, BE, CF chia nhau theo tỷ lệ 2:1 tại H. - Do đó,
,
,
. - Thay vào biểu thức, ta có:
- Rút gọn, ta được:
- Nhưng do các đoạn đường cao không bằng nhau, nên tổng thực sự lớn hơn 1. - Vậy,
.**Câu trả lời:**1. M là trung điểm của HL và AL vuông góc với EF.2. Bốn điểm I, K, P, Q thẳng hàng.3.
.