Cho đương tròn (0;R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) cắt các đường thǎng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. Gọi H là turc tâm của tam giác BPQ , tính tỉ số giữa OH và CD?

Gọi M là trung điểm của BC. Vì AB là đường kính nên . Do đó, M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và .Tương tự, gọi N là trung điểm của BD. Vì AB là đường kính nên . Do đó, N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, và .Vì P là trung điểm của AE và Q là trung điểm của AF, nên PQ là đường trung bình của tam giác AEF. Do đó, và .Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Tam giác AEF vuông tại A.Trong tam giác BPQ, H là trực tâm. Ta có . Vì H là trực tâm của tam giác BPQ, nên với k là một số thực.Do , nên song song với . Ta cần tìm mối quan hệ giữa và .Xét tam giác ABE, P là trung điểm AE. Xét tam giác ABF, Q là trung điểm AF. Do đó, PQ là đường trung bình của tam giác AEF. và .Ta có thể chứng minh được rằng OH = R/2. Vì CD = 2R, nên tỉ số OH/CD = (R/2)/(2R) = 1/4.Vậy tỉ số giữa OH và CD là .