Bài 16. Cho biểu thức M=((1)/(a-sqrt (a))+(1)/(sqrt (a)-1)):(sqrt (a)+1)/(a-2sqrt (a)+1) với ageqslant 0,aneq 1 a) Rút gọn biểu thức M ; b) Tính giá trị của biểu thức M khi a=16 c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.

**a) Rút gọn biểu thức M:**<br /><br />$M = \left(\frac{1}{a-\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a}-1}\right) : \frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}$<br /><br />$M = \left(\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}\right) : \frac{\sqrt{a}+1}{(\sqrt{a}-1)^2}$<br /><br />$M = \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} \times \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{a}+1}$<br /><br />$M = \frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}$<br /><br />**b) Tính giá trị của biểu thức M khi a = 16:**<br /><br />Khi a = 16, ta có:<br /><br />$M = \frac{\sqrt{16}-1}{\sqrt{16}} = \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}$<br /><br />**c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên:**<br /><br />Để M nhận giá trị nguyên, ta cần $\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}$ là số nguyên. Ta có:<br /><br />$\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{a}}$<br /><br />Để biểu thức trên nguyên, $\frac{1}{\sqrt{a}}$ phải là số nguyên hoặc bằng 0. Điều này chỉ xảy ra khi $\sqrt{a} = 1$, dẫn đến $a = 1$. Tuy nhiên, điều kiện đề bài là $a \ne 1$, nên không có giá trị nguyên nào của a thỏa mãn để M nhận giá trị nguyên.<br /><br /><br />