Ví dụ a) Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó. b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

【Trả lời】: a) Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác ABC cân tại A nên A nằm trên đường trung trực của BC, tức là AH là đường trung trực của BC. Đồng thời, do HB=HC nên AH cũng là đường cao của tam giác ABC. Xét hai tam giác AHB và AHC có AH là cạnh chung, ∠AHB = ∠AHC = 90 độ và HB=HC nên ∆AHB = ∆AHC (hai góc vuông bằng nhau). Từ đó suy ra ∠BAH = ∠CAH, tức là AH là tia phân giác của ∠BAC. Vậy đường trung trực AH của BC đồng thời là đường cao và đường phân giác của tam giác ABC. b) Tam giác đều là tam giác cân tại mọi đỉnh, nên theo phần a, ba đường trung trực của tam giác đều đồng thời là ba đường phân giác. Do đó, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác. <br/>【Phân tích】: Câu hỏi này yêu cầu chứng minh hai tính chất trong hình học, đòi hỏi người giải phải hiểu rõ các định lý liên quan đến tam giác cân và tam giác đều. Câu trả lời đã đưa ra lời giải một cách chi tiết và logic, dựa trên các định lý và tính chất của tam giác. Đối với phần a, câu trả lời đã chỉ ra rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy cũng là đường cao và đường phân giác. Đối với phần b, câu trả lời đã kết hợp kết quả từ phần a để chứng minh tính chất của tam giác đều.