Hinh 1 Bài 5 (2,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A, vẽ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O;R) . AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là D (D khác C ).Gọi I là trung điểm của CD. a) Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp và AB^2=ACcdot AD b) Gọi H là hình chiếu của B trên AO. Chứng minh AHcdot AO+CI^2=AI^2

a) <br />- Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn tại B nên \( \angle ABO = 90^{\circ} \).<br />- Vì I là trung điểm của CD nên \( \angle AIO = 90^{\circ} \).<br />- Do đó, \( \angle ABO + \angle AIO = 180^{\circ} \) nên tứ giác ABOI nội tiếp.<br />- Theo định lý về dây cung: \( AB^ AO \times AC \).<br />- Vì AD là tiếp tuyến của đường tròn tại D nên \( AD \times AO = AO \times AC \) => \( AB^2 = AC \times AD \).<br /><br />b) <br />- Vì H là hình chiếu của B trên AO nên \( \angle BHO = 90^{\circ} \).<br />- Vì I là trung điểm của CD nên \( CI = \frac{1}{2} \times CD \).<br />- Theo định lý Pythagoras: \( AI^2 = AO^2 + OI^2 \).<br />- Vì \( OI = \frac{1}{2} \times CD \) và \( AO = \frac{1}{2} \times BC \) nên \( AI^2 = AO^2 + \left( \frac{1}{2} \times CD \right)^2 \).<br />- Vì \( AH \times AO = AO^2 \) nên \( AH \times AO + CI^2 = AI^2 \).