Cho (a^2)/(b+c)+(b^2)/(a+c)+(c^2)/(a+b)=0 . Tính giá trị biểu thức (a)/(b+c)+(b)/(a+c)+(c)/(a+b)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một kỹ thuật gọi là "đặt biểu thức". Chúng ta sẽ đặt $x = \frac{a}{b+c}$, $y = \frac{b}{a+c}$ và $z = \frac{c}{a+b}$. Từ đó, chúng ta có:<br /><br />$x = \frac{a}{b+c}$<br /><br />$y = \frac{b}{a+c}$<br /><br />$z = \frac{c}{a+b}$<br /><br />Bây giờ, chúng ta sẽ cố gắng biểu diễn $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}$ dưới dạng $x$, $y$ và $z$. Nhưng trước hết, chúng ta cần tìm một cách để biểu diễn $\frac{a^2}{b+c}$, $\frac{b^2}{a+c}$ và $\frac{c^2}{a+b}$ dưới dạng $x$, $y$ và $z$.<br /><br />Từ $x = \frac{a}{b+c}$, chúng ta có $a = x(b+c)$.<br /><br />Từ $y = \frac{b}{a+c}$, chúng ta có $b = y(a+c)$.<br /><br />Từ $z = \frac{c}{a+b}$, chúng ta có $c = z(a+b)$.<br /><br />Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị này vào biểu thức $\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b}$:<br /><br />$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} = \frac{x^2(b+c)^2}{b+c} + \frac{y^2(a+c)^2}{a+c} + \frac{z^2(a+b)^2}{a+b}$<br /><br />Sau khi rút gọn, chúng ta có:<br /><br />$x^2(b+c) + y^2(a+c) + z^2(a+b) = 0$<br /><br />Chúng ta đã đặt $x = \frac{a}{b+c}$, $y = \frac{b}{a+c}$ và $z = \frac{c}{a+b}$, nên chúng ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:<br /><br />$x^2 + y^2 + z^2 = 0$<br /><br />Nhưng chúng ta biết rằng $x = \frac{a}{b+c}$, $y = \frac{b}{a $z = \frac{c}{a+b}$, nên chúng ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:<br /><br />$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a+c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a+b}\right)^2 = 0$<br /><br />Vì một số bình phương không thể là số âm, nên biểu thức trên chỉ có thể đúng nếu tất cả các số hạng đều bằng 0. Do đó, chúng ta có:<br /><br />$\frac{a}{b+c} = 0$, $\frac{b}{a+c} = 0$ và $\frac{c}{a+b} = 0$<br /><br />Điều này chỉ ra rằng $a = 0$, $b = 0$ và $c = 0$. Nhưng điều này trái với giả định ban đầu rằng $a$, $b$ và $c$ không thể cùng bằng 0. Do đó, không có giá trị nào của $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}$ mà làm cho biểu thức ban đầu đúng.<br /><br />Vậy, giá trị của biểu thức $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}$ không tồn tại.