Bài 4. (3,5 điếm) Cho :am giác ABC cân tại A. kẻ AH vuô ng góc với BC(Hin BC) Gọi P là trung điểm của HC. Trên tia đố i của tia PA lấy điểm Q sao cho QP PA. a) Chứng minh rằng: Delta APH Delta QPC và QC vuông góc vớiBC. b) Chứng minh rằng QC AHzơ đó suyra ACgt QC c) Chứng minh rằng: angle PAClt angle HAP d) Gọi I là trung điếm của BQ. Chứng minh rằng ba điểm A, H , I thẳng hàng.

<p>Phưong pháp:</p><p>+ Sưx dưng các cảch chựg minh hai tam giàc bằng nhau.</p><p>+ Môi quan hẹ giữa góc và cạnh trong tam giảc (Cạnh đới diện với góc lơn hon thi lón hon)</p><p>+ Tính chất trong tâm của tam giác.</p><p>Cảch giải:</p><p><img src="https://static.questionai.vn/resource/qaiseoimg/202502/abch-piq-tBaxbKOeRW0d.jpg" alt=" A B C H p I Q "></p><p>a. Xét $\triangle A P H$ và $\triangle Q P C$ có:</p><p>$\begin{aligned} &amp; +H P=P C \text { (gt) } \\ &amp; +\angle A P H=\angle Q P C \text { (dói dinh) } \\ &amp; +Q P=P A(\mathrm{gt}) \\ &amp; \Rightarrow \triangle A P H=\Delta Q P C \text { (c.g.c) (apcm). } \\ &amp; \Rightarrow \angle A H P=\angle Q C P=90^{\circ} \text { (hai góc trong img) } \\ &amp; \Rightarrow Q C \perp B C \text { (dpcm). } \end{aligned}$</p><p>b. Theo (a) $\triangle A P H=\triangle Q P C$</p><p>$\Rightarrow Q C=A H$ (hai canh trong üg) (1)</p><p>Mà $\triangle A H C$ vuông tại $\mathrm{H} \Rightarrow A H&amp;lt;A C$ (cạnh góc vuông &lt;cạnh huyển) (2)</p><p>Tù̀ (1) và (2), suy ra $Q C&amp;lt;A C$ (ăpcm).</p><p>c. Xét $\triangle A Q C$ có $Q C&amp;lt;A C \Rightarrow \angle Q A C&amp;lt;\angle A Q C$(3)&nbsp;</p><p>(Mối quan hệ giữa cạnh- góc trong tam giác)</p><p>Mặt khác $\triangle A P H=\triangle Q P C \Rightarrow \angle H A P=\angle P Q C=\angle A Q C$(4)</p><p>Tù̀ (3) và (4) $\Rightarrow \angle H A P&amp;lt;\angle Q A C$ hay $\angle H A P&amp;lt;\angle P A C$ (äpcm).</p><p>d. Xét $\triangle A B Q$ có $B$ Plà trung tuyén ing rớ canh $A Q$</p><p>Mà $B H=2 H P$ (do $H$ là trung đièm cuia $B C$, Plà trung diểm cuia $H C$ ) $\Rightarrow H$ là trọng tàm $\triangle A B Q$ (5)&nbsp;</p><p>Lại có Ilà trung điểm của $B Q \Rightarrow A l$ là trung tyến úng vớ cạnh $B Q$&nbsp; &nbsp;(6)</p><p>&nbsp;Tù̀ (5), $(6) \Rightarrow H \in A I$ $\Rightarrow A, H, I$ thảng hang (apcm)&nbsp;</p><p></p>