Câu 14. (2,0 điểm) Cho nửa đường tròn O đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thǎng vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng d lần lượt tại M và N. Từ C hạ CH vuông góc với AB tại H. a) Chứng minh bốn điểm A, M, C,H cùng thuộc một đường tròn. b) Khi A, B cố định, chứng minh rằng: CH^2=AH.BH và xác vị trí của C trên nửa đường tròn O để AM.BN đạt giá trị lớn nhất.

**Câu 14a:**<br /><br />Bốn điểm A, M, C, H cùng thuộc một đường tròn vì $\angle AMH = \angle ACH = 90^{\circ}$. Hai góc này cùng nhìn cạnh AH dưới một góc vuông, thỏa mãn điều kiện tứ giác nội tiếp.<br /><br /><br />**Câu 14b:**<br /><br />* **Chứng minh $CH^2 = AH.BH$**: Trong tam giác vuông ACH, ta có $CH^2 = CA^2 - AH^2$. Trong tam giác vuông BCH, ta có $CH^2 = CB^2 - BH^2$. Vì CA = CB (bán kính), nên $CA^2 - AH^2 = CB^2 - BH^2$, dẫn đến $AH^2 - BH^2 = CA^2 - CB^2 = 0$. Do đó, $AH^2 = BH^2$, và vì AH và BH đều dương, ta có $AH = BH$. Tuy nhiên, điều này chỉ đúng khi C là điểm chính giữa cung AB. Phát biểu $CH^2 = AH.BH$ là sai. Phát biểu đúng phải là: Trong tam giác ABC vuông tại C, ta có $CH^2 = AH.HB$ (định lý đường cao trong tam giác vuông).<br /><br />* **Vị trí của C để AM.BN đạt giá trị lớn nhất**: AM = AC/cos(∠CAM) và BN = BC/cos(∠CBN). Vì AC = BC = R (bán kính), nên AM.BN = R²/cos(∠CAM)cos(∠CBN). Để tích AM.BN đạt giá trị lớn nhất, cos(∠CAM)cos(∠CBN) phải đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi ∠CAM = ∠CBN = 0, tức là C nằm chính giữa cung AB. Khi đó, AM.BN = R².<br />