Câu 1: Gọi F(x)=(ax^3+bx^2+cx+d)e^x là một nguyên hàm của ham . Tính a^2+b^2+c^2+d^2

Để tìm \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2\), chúng ta cần sử dụng thông tin về đạo hàm của \(F(x)\). Theo đề bài, \(F(x)\) là nguyên hàm của một hàm không rõ, nhưng chúng ta có thể giả định rằng đạo hàm của \(F(x)\) phải bằng hàm gốc mà không có hằng số tích phân.<br /><br />1. Tính đạo hàm \(F'(x)\):<br />\[ F(x) = (ax^3 + bx^2 + cx + d)e^x \]<br />\[ F'(x) = \frac{d}{dx}[(ax^3 + bx^2 + cx + d)e^x] \]<br /><br />Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:<br />\[ F'(x) = (ax^3 + bx^2 + cx + d)'e^x + (ax^3 + bx^2 + cx + d)(e^x)' \]<br />\[ F'(x) = (3ax^2 + 2bx + c)e^x + (ax^3 + bx^2 + cx + d)e^x \]<br />\[ F'(x) = (3ax^2 + 2bx + c + ax^3 + bx^2 + cx + d)e^x \]<br />\[ F'(x) = (ax^3 + 3ax^2 + 2bx + c + d)e^x \]<br /><br />2. So sánh \(F'(x)\) với hàm gốc:<br />Giả sử hàm gốc là \(f(x)\), thì \(F'(x)\) phải bằng \(f(x)\):<br />\[ f(x) = (ax^3 + 3ax^2 + 2bx + c + d)e^x \]<br /><br />3. Xác định các hệ số:<br />So sánh các hệ số của \(x^3\), \(x^2\), \(x\), và hằng số trong phương trình trên, ta có:<br />\[ a = 0 \]<br />\[ 3a = 0 \Rightarrow a = 0 \]<br />\[ 2b = 0 \Rightarrow b = 0 \]<br />\[ c + d = 0 \]<br /><br />Từ \(c + d = 0\), ta có \(d = -c\).<br /><br />4. Tính \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2\):<br />\[ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 0^2 + 0^2 + c^2 + (-c)^2 \]<br />\[ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = c^2 + c^2 \]<br />\[ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2c^2 \]<br /><br />Vậy, \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2c^2\). Tuy nhiên, không có thông tin cụ thể về \(c\) nên không thể xác định giá trị cụ thể cho \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2\) ngoài việc nó phụ thuộc vào \(c\).