Câu 2. Tính các giới hạn sau a) lim _(narrow +infty )(sqrt (n^2+n)-n)/(sqrt (4n^2)+3n-2n) b) lim _(narrow +infty )(sqrt (4n^2+1)-2n-1)/(sqrt (n^2)+4n+1-n)

**2. Tính các giới hạn sau:**<br /><br />**a) $\lim _{n\rightarrow +\infty }\frac {\sqrt {n^{2}+n}-n}{\sqrt {4n^{2}+3n}-2n}$**<br /><br />Để tính giới hạn này, ta áp dụng quy tắc l'Hôpital cho phân số có dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$. Đầu tiên, ta kiểm tra xem phân số có dạng nào không:<br /><br />Khi $n \to +\infty$, cả tử số và mẫu số đều tiến về $+\infty$. Do đó, ta có thể áp dụng quy tắc l'Hôpital.<br /><br />Ta viết lại phân số dưới dạng:<br /><br />$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2 + n} - n}{\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n})} - n}{\sqrt{4n^2(1 + \frac{3}{4n})} - 2n}$$<br /><br />Khi $n \to +\infty$, $\frac{1}{n} \to 0$ và $\frac{3}{4n} \to 0$. Do đó, ta có:<br /><br />$$= \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2} - n}{\sqrt{4n^2} - 2n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n - n}{2n - 2n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{0}{0}$$<br /><br />Áp dụng quy tắc l'Hôpital, ta có:<br /><br />$$= \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{d}{dn}(n - n)}{\frac{d}{dn}(2n - 2n)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{0}{0}$$<br /><br />Lặp lại quá trình này không giúp ích gì cả, vì kết quả vẫn là $\frac{0}{0}$. Do đó, ta cần phải xem xét lại cách tiếp cận vấn đề này.<br /><br />Thay vì áp dụng quy tắc l'Hôpital, ta có thể nhân tử hợp để đơn giản hóa biểu thức:<br /><br />$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2 + n} - n}{\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2 + n} - n}{\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + n} + n}{\sqrt{n^2 + n} + n} \cdot \frac{\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n}{\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n}$$<br /><br />Sau khi nhân tử hợp, ta được:<br /><br />$$= \lim_{n \to +\infty} \frac{(n^2 + n) - n^2}{(\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n)(\sqrt{n^2 + n} + n)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{(\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}$$<br /><br />Khi $n \to +\infty$, ta có:<br /><br />$$= \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{(2n + \frac{3}{2}n)(n + \frac{1}{2}n)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{(2.5n)(1.5n)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{3.75n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3.75n} = 0$$<br /><br />Vậy, $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2 + n} - n}{\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n} = 0$.<br /><br />**b) $\lim _{n\rightarrow +\infty }\frac {\sqrt {4n^{2}+1}-2n-1}{\sqrt {n^{2}+4n+1}-n}$**<br /><br />Tương tự như trên, ta áp dụng quy tắc l'H