Câu 14. (2,0 điểm) Cho nửa đường tròn O đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thǎng vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng d lần lượt tại M và N. Từ C hạ CH vuông góc với AB tại H. a) Chứng minh bốn điểm A, M, C,H cùng thuộc một đường tròn. b) Khi A, B cố định, chứng minh rằng: CH^2=AH.BH và xác vị trí của C trên nửa đường tròn O để AM.BN đạt giá trị lớn nhất.

**Câu 14a:**Bốn điểm A, M, C, H cùng thuộc một đường tròn vì . Hai góc này cùng nhìn cạnh AH dưới một góc vuông, thỏa mãn điều kiện tứ giác nội tiếp.**Câu 14b:*** **Chứng minh **: Trong tam giác vuông ACH, ta có . Trong tam giác vuông BCH, ta có . Vì CA = CB (bán kính), nên , dẫn đến . Do đó, , và vì AH và BH đều dương, ta có . Tuy nhiên, điều này chỉ đúng khi C là điểm chính giữa cung AB. Phát biểu là sai. Phát biểu đúng phải là: Trong tam giác ABC vuông tại C, ta có (định lý đường cao trong tam giác vuông).* **Vị trí của C để AM.BN đạt giá trị lớn nhất**: AM = AC/cos(∠CAM) và BN = BC/cos(∠CBN). Vì AC = BC = R (bán kính), nên AM.BN = R²/cos(∠CAM)cos(∠CBN). Để tích AM.BN đạt giá trị lớn nhất, cos(∠CAM)cos(∠CBN) phải đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi ∠CAM = ∠CBN = 0, tức là C nằm chính giữa cung AB. Khi đó, AM.BN = R².